Логика

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.

Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.

1) Символы для высказываний: р, q, r ... (пропозициональные переменные).

2) Символы для логических связок:

л — конъюнкция (союз «и»);

V — ДИЗЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «ШШ»);

-> — импликация (союз «если..., то...»);

s — эквивалентность (союз «если и только если..., то...»);

1 — отрицание («неверно, что...»). 3) Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r... — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А л В, A v В, А -> В, А а В, ТА— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозициональных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения сложных формул от значений их составляющих простых формул.

157

формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок форму может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного знач ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фо мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истинцЭ при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональ"» ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики. *

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложносп| при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных, |

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинй ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици-Д ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений ме» формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношен логического следования (символ |—), которое определяется следующим образом! Из AI, ..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинное каждого А], ..., An истинным является и В. В языке-объекте отношение следован адекватно выражается импликацией. Значит, если А|, .... An |—B, то формула, пр< ставляющая собой импликацию вида (AI л AZ А ... л An) -» В, должна быть тожде венной истинной.

Табличное построение логики высказываний позволяет определять логическ отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умоз! лючений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлага провести табличным способом проверку правильности рассуждения формул (р —» q) |- (Tq —> 1р). Заменив знак логического следования между посылкой и заклк чением на импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что он является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полну! таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра! щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном ра суждении формула вида (AI л ... л An) —» В должна быть тождественно истинно:

посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений переменных оказаты ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь пр< тиворечие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — пр;

вильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набс значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опрове) гает проверяемое рассуждение.

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая сист ма натурального вывода (СИВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое 1 которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя II этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенн доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминирова'1 все сделанные допущения. Таким образом, поавыводом формулы В (заключения) I формул AI, ..., An (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая t которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правим вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть фор» ла В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СИВ позволяют оперировать со всеми связками, имеющимися в ал<] вите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

158

Конъюнкция:

,А,В

АлВ

АлВ А

ли'

,АлВ

Дизъюнкция:

VB

А

AvB

AvB

VH-

AvB,1A

AvBJB

Импликация:

А

А->В,1В

В->А

1А

Отрицание:

Эквиваленция:

ЛА

•-А--

А=В

(А->В)л(В->А) '

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (xi —> (xz —» ...(хп-1 —» Хп))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. xi, X2, хз,..., Xn-i.

собираем

Г,А->В

Если при этом удастся вывести Хп, то по непрямому правилу -> в

Г-»А-»В

последовательно формулы: (Xn-i-»Xn) (при этом исключается допущение Xn-i), (xn-2 -> (xn-i -» Xn)(xn-r исключается из числа, допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение х] -> (хп-2 ->... (xn-i -» Хп). Это правило построения прямого вывода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((pAq)-»r) (_ (р-> (q -»г)

1. (р л q) —> r — посылка

2. р — допущение

3. q —• допущение

4.

5.г(1,4,-^,)

6.q->r(3,5,->.)(-3)

7.p-*(q^r)(2,6, ->,)(-2)

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквен-

та Хп. Это правило имеет вид

и говорит о том, что если из каких-то

Г->1А

формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В л 1В), то из этих формул следует 1А. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (xi -» (х2 -» ...(xn-i -» Хп)...), то после посылок выписываются формулы:

xi

X2

Хп-1

^п

допущения

допущение косвенного доказательства [ДКД]

159

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок| лопушгнии до гсх пор, пока не получим две противоречащие Друг Другу формулы ( и 1В), что свидетельствует о несовместимости допущения косвенного доказательс с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. То в вывод вписывается строка П Хп, и тем самым допущение косвенного доказатель исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р -> q) h-(1q -> 1р)

1. р —> q — посылка

2.1q— допущение

з. Up дкд

4.р(3,1„)

5.q(l,4,->„)

6. а л 1q(5,2,A,)

7. 111р(6,3, 1в)(-3)

8. 1р (7, 1и)

9. 1q -» 1р (2,8, -^„)(-2)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-й формула и ее отрицание, i.e. противоречие. Таким образом, если строится косвенн вывод формулы вида xi —> {xi —>... —> Хп), то построчно выписывают все антецеден от xi до Xn-i в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрица! последнего консеквента — 1хп как допущение косвенного вывода. По правш вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущен Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения коса ного вывода. На этом' основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицая Снятие двойного отрицания дает формулу Хп.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются j непротиворечивость и полнота. 1

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться -год ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок,^ она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множе ва посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание ( ТА).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы I вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более обшей логической системой и включает лога высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логически» средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правиль модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назов его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицаюшему и i рицающе-утверждаюшему модусам разделительно-категорического умозаключен!

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (лемманти* ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозак ний в работе юриста.